ANOVA君/オメガ二乗の複雑な事情 をテンプレートにして作成 - 井関龍太のページ
井関龍太のページ
ANOVA君/オメガ二乗の複雑な事情
をテンプレートにして作成
開始行:
**&color(#000080){被験者内計画におけるオメガ二乗}; [#hc5d...
分散分析の効果量の指標として，&color(darkorchid){ω&SUP{2}...
被験者間計画の場合は，以下の式を適用すれば，問題なく適切...
#mathjax(margin-left: 5%; font-size: 120%)
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{error...
\]
ここで，SSは平方和，dfは自由度，MSは平均平方を表していま...
Aは任意の要因効果を表すものとし，errorはこの効果の誤差項...
被験者間計画であれば，何要因の計画であろうとこの同じ式が...
ところが，被験者内計画のデータについてω&SUP{2};を計算する...
一般に，被験者内計画のω&SUP{2};の計算式としては，以下のよ...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}} \\
\]
ここで，小文字のｓは被験者の項を表しています。
この式には，何か違和感をおぼえはしないでしょうか。
一見して，被験者間計画の式の分母のMS&SUB{error};がMS&SUB{...
確かに，被験者内計画では，データの変動から被験者の個人差...
しかし，それでは被験者間計画の式にあったMS&SUB{error};は...
この式だけをみると，何だか添え字を間違ってしまったように...
被験者内計画のω&SUP{2};については，別の式が挙げられること...
Field（2009）は，被験者内計画の式は難しすぎて読者を混乱さ...
\[
\frac{[\frac{j - 1}{nj}(MS_A - MS_{error})]}{MS_{error} +...
\]
ここで，ｊは要因効果Aの水準数，ｎは各グループの参加者数で...
確かに，こんな式をいきなり見せられたらくじけてしまいそう...
これは本当に上の被験者内計画の式と同じものなのでしょうか。
実のところ，地道に式変形を重ねていけば，この２つの式は同...
まず，上の式は以下のような形に変形できます。
（以下の式変形は，分散分析における自由度と平均平方の算出...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}} \\
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+SS_{s}+SS_{...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+(n - 1) \ti...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
一方で，Fieldの式も，分子と分母にnjをかけて，分子を整理す...
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+n \times (M...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
変形すると，これは上の式と同じもので，そこまで難解なもの...
被験者間計画の式も，同じように変形してみましょう。
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{error...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_A+SS_{error}+MS...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_A+(N - j) \time...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_A - df_A \time...
\]
すると，被験者間計画と被験者内計画では式の大枠は似ている...
被験者間計画ではMS&SUB{error};だけですが，被験者内計画に...
いずれもサンプルサイズ（と自由度）による補正を加えて分母...
こうしてみると，被験者内計画でも分母にMS&SUB{error};がな...
なるほど納得，これで解決したと思いたいところですが，それ...
あちこちのテキストをひっくり返してみても，混合要因計画のω...
先ほどのField先生はなかなかfunkyな方のようで，混合要因計...
被験者内計画であれだけ複雑な式を載せていたField先生がいう...
結局，混合要因計画の式については，テキストでは掲載してい...
混合要因計画のω&SUP{2};について最も詳しい計算式を載せてい...
この論文では，３要因までの様々な計画に対応しているω&SUP{2...
また，一部の計画については，Susskind & Howland（1980）が...
**&color(#000080){加算モデルと非加算モデル}; [#c37a1e87]
さて，これで混合要因計画の式がわかる……とその前に，これら...
それは，反復測定要因を含む計画の場合，ω&SUP{2};の計算式に...
具体的には，分散分析のモデルとして&color(darkorchid){''加...
加算モデルとは，参加者と誤差の間に交互作用がないと仮定す...
一方，非加算モデルでは，これらの間に交互作用が存在するこ...
理論的には，加算モデルの方が非加算モデルよりも検出力が高...
しかし，現在一般に用いられているソフトウェアでは，反復測...
実は，上で参照した被験者内計画のω&SUP{2};の計算式は，加算...
それでは，非加算モデルを仮定した場合はどのようになるので...
以下は，非加算モデルの場合の一要因被験者内計画用の式です。
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}+n ...
\]
加算モデルの式の分母にさらにMS&SUB{error};を足したものに...
これまでと同じように式変形していくと，以下の式に落ち着き...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}+n ...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+SS_{s}+SS_{...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+n \times MS...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
二要因の場合の非加算モデルの被験者内計画の式は以下のよう...
一見，誤差項にかける数の法則性がつかめないように思えます...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}+n ...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+SS_{B}+SS_{...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+SS_{B}+SS_{...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
ていねいに見ていくにはなかなかの忍耐力を要求されますが，...
こうして非加算モデルでは要因数によって計算式が違うことを...
実際のところ，これがうまくできていて，上の加算モデルの式...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_s} \\
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
**&color(#000080){混合要因計画におけるオメガ二乗}; [#ka35...
以上のような加算モデル，非加算モデルの選択の問題は，混合...
まずは，より簡単な加算モデルの場合のAsBデザインの式を示し...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_{Total}+MS_{sxA}} \\
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}+S...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{(SS_A - df_A \times ...
\]
基本的には，加算モデルの被験者内計画の場合と同じような具...
ただし，SS&SUB{s};はありません。
非加算モデルの場合のAsBデザインの式は以下のようになります。
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_{Total}+MS_{sxA}+nj...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}+S...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}+S...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{(SS_A - df_A \times ...
\]
誤差項が複数あり，水準数から１を引かない点が加算モデルと...
ここまででどんな形の計画にも対応できそうに思えるかもしれ...
それぞれ，被験者間要因と被験者内要因が２つ以上に増えた場...
これらのデザインについては，式も本当に長くなるのでここで...
**&color(#000080){加算モデルか非加算モデルか}; [#x662be6d]
一通り計算式が出そろったところで，加算モデルと非加算モデ...
先に述べたように，一般的なソフトウェアが使っている分散分...
そこで，すなおに考えると非加算モデルの式を使うのがよさそ...
しかし，式を見て気づくように，非加算モデルの式によるω&SUP...
そこで，非加算モデルの式には過少推定の傾向があるといえま...
そもそもω&SUP{2};そのものが分散分析の効果量の指標として過...
Susskind & Howland（1980）は，加算性が仮定できるか疑わし...
本当は非加算モデルの方が妥当なデータについて，加算モデル...
そして，実際にこの加算性の仮定による影響がどの程度である...
そこで，ANOVA君（version 4.3.0以降）では，これら両方のモ...
omegaを指定した場合は加算モデル，omeganaを指定した場合は...
非加算モデルを使っているのに加算モデルに基づくω&SUP{2};を...
また，検定と効果量はある程度別物であると考えるのなら，あ...
ここで，一点，補足しておきます。
この記事では一括して“加算モデル”と呼んできましたが，実は...
３要因以上のデザインの場合，どの効果の誤差と参加者の間に...
ですから，ここで提示した加算モデルによるω&SUP{2};の式が唯...
他にも，それなりの正当性を持った適切な加算モデルによるω&S...
ここでは，もっとも単純な，どの効果の誤差項とも等しく交互...
このように概観してくると，ω&SUP{2};の計算には実にいろいろ...
被験者間計画か，被験者内計画か，混合要因計画か。
それぞれ，何要因の計画なのか。
加算モデルか非加算モデルか，加算モデルであったとしてもど...
さらに，今回は議論しませんでしたが，ω&SUP{2};の計算式を論...
もちろん，固定効果と変量効果の両方を含むモデルもありえま...
このように，ω&SUP{2};は様々な条件によって計算式が少しずつ...
効果量の母集団推定値としてη&SUP{2};よりも推奨されているに...
**&color(#000080){偏オメガ二乗の計算法は？}; [#c5f11968]
さて，ここまでがんばれば，偏オメガ二乗も計算できそうに思...
むしろ，偏オメガの場合は分母として，関係のある効果の誤差...
しかし，そうは問屋が卸さないのです。
被験者間計画や被験者内計画の場合であれば問題ないのですが...
一般に，ω&SUB{p};&SUP{2};の式は以下のように定義されている...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+(N - df_A) \times...
\]
分母の誤差項は，効果量を算出しようとしている効果の誤差項...
ところが，混合要因計画の場合には，この分母の誤差項の扱い...
まず，Kirk（2013）が紹介している方法があります。
これは最も単純な方法で，上で紹介している式をそのまま使う...
それぞれの効果ごとの誤差項を考慮するという意味では，最も...
次に，Olejnik & Algina（2000）の方法があります。
この方法では，混合要因計画における被験者間要因の効果量を...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+(n - df_A) \times...
\]
また，被験者内要因及び交互作用の場合には，nに水準数をかけ...
\[
\frac{SS_B - df_B \times MS_{sxAxB}}{SS_B+(kn - df_B) \ti...
\]
\[
\frac{SS_{AxB} - df_{AxB} \times MS_{sxAxB}}{SS_{AxB}+(kn...
\]
被験者間要因の場合に交互作用の誤差項を引くのは，何か理論...
一方，Maxwell & Delaney（2004）では，分母から自由度をかけ...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+N \times MS_{sxA}...
\]
\[
\frac{SS_B - df_B \times MS_{sxAxB}}{SS_B+kn \times MS_{s...
\]
\[
\frac{SS_{AxB} - df_{AxB} \times MS_{sxAxB}}{SS_{AxB}+kn ...
\]
こうなってくると，もう何が本当に正しい計算法なのかわから...
とりあえず，ANOVA君では，最も単純なKirkの方式を採用してい...
このような状況ですので，もしかしたらω&SUB{p};&SUP{2};につ...
**&color(#000080){イプシロン二乗という選択}; [#ia91dbb9]
ω&SUP{2};の算出法について様々な問題があることについて紹介...
ここまで来ると，本当にω&SUP{2};を使って効果量を報告するこ...
ω&SUP{2};に疑問を感じる方には，ひとつの代案として，&color...
ε&SUP{2};もまた分散分析の効果量の母集団推定値であり，これ...
ただし，ε&SUP{2};とω&SUP{2};との違いは数値的にもごくわず...
さらに，シミュレーションをしてみると，少なくとも一要因被...
ε&SUP{2};の計算式は以下のようなものであり，分子はω&SUP{2}...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}} \\
\]
ここで，ω&SUP{2};の計算法についてどこが複雑だったかを思い...
これに対して，ε&SUP{2};の場合は分母に平均平方を足さず，η&...
ということは，上でみたω&SUP{2};のような複雑なバリエーショ...
同じ母集団推定値を得たいなら，算出法の選択において議論の...
（あるいは，真の効果量を推定するための指標としてω&SUP{2};...
また，ε&SUP{2};についても，η&SUP{2};やω&SUP{2};と同様に，...
η&SUB{p};&SUP{2};は回帰分析でいうR&SUP{2};，ε&SUB{p};&SUP...
ANOVA君では，さらに，&color(darkorchid){''ε&SUB{G};&SUP{2...
この指標は，η&SUB{G};&SUP{2};とω&SUB{G};&SUP{2};の計算法...
ただし，ε&SUB{G};&SUP{2};は，統計学の専門家によって定式化...
以上の点を了承の上でご利用ください。
----
Dodd, D. H., & Schultz, R. F., Jr. (1973). Computational ...
Field, A. (2009). '''Discovering statistics using SPSS (3...
Gaebelein, J. W., & Soderquist, D. R. (1978). The utility...
Kirk, R. E. (2013). '''Experimental design: Procedures fo...
Maxwell, S. E., & Delaney, H. D. (2004). '''Designing exp...
Mordkoff, J. T. (2019). A simple method for removing bias...
Okada, K. (2013). Is omega squared less biased? A compari...
Olejnik, S., & Algina, J. (2000). Measures of effect size...
Olejnik, S., & Algina, J. (2003). Generalized eta and ome...
Susskind, E. C., & Howland, E. W. (1980). Measuring effec...
終了行:
**&color(#000080){被験者内計画におけるオメガ二乗}; [#hc5d...
分散分析の効果量の指標として，&color(darkorchid){ω&SUP{2}...
被験者間計画の場合は，以下の式を適用すれば，問題なく適切...
#mathjax(margin-left: 5%; font-size: 120%)
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{error...
\]
ここで，SSは平方和，dfは自由度，MSは平均平方を表していま...
Aは任意の要因効果を表すものとし，errorはこの効果の誤差項...
被験者間計画であれば，何要因の計画であろうとこの同じ式が...
ところが，被験者内計画のデータについてω&SUP{2};を計算する...
一般に，被験者内計画のω&SUP{2};の計算式としては，以下のよ...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}} \\
\]
ここで，小文字のｓは被験者の項を表しています。
この式には，何か違和感をおぼえはしないでしょうか。
一見して，被験者間計画の式の分母のMS&SUB{error};がMS&SUB{...
確かに，被験者内計画では，データの変動から被験者の個人差...
しかし，それでは被験者間計画の式にあったMS&SUB{error};は...
この式だけをみると，何だか添え字を間違ってしまったように...
被験者内計画のω&SUP{2};については，別の式が挙げられること...
Field（2009）は，被験者内計画の式は難しすぎて読者を混乱さ...
\[
\frac{[\frac{j - 1}{nj}(MS_A - MS_{error})]}{MS_{error} +...
\]
ここで，ｊは要因効果Aの水準数，ｎは各グループの参加者数で...
確かに，こんな式をいきなり見せられたらくじけてしまいそう...
これは本当に上の被験者内計画の式と同じものなのでしょうか。
実のところ，地道に式変形を重ねていけば，この２つの式は同...
まず，上の式は以下のような形に変形できます。
（以下の式変形は，分散分析における自由度と平均平方の算出...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}} \\
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+SS_{s}+SS_{...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+(n - 1) \ti...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
一方で，Fieldの式も，分子と分母にnjをかけて，分子を整理す...
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+n \times (M...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
変形すると，これは上の式と同じもので，そこまで難解なもの...
被験者間計画の式も，同じように変形してみましょう。
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{error...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_A+SS_{error}+MS...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_A+(N - j) \time...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_A - df_A \time...
\]
すると，被験者間計画と被験者内計画では式の大枠は似ている...
被験者間計画ではMS&SUB{error};だけですが，被験者内計画に...
いずれもサンプルサイズ（と自由度）による補正を加えて分母...
こうしてみると，被験者内計画でも分母にMS&SUB{error};がな...
なるほど納得，これで解決したと思いたいところですが，それ...
あちこちのテキストをひっくり返してみても，混合要因計画のω...
先ほどのField先生はなかなかfunkyな方のようで，混合要因計...
被験者内計画であれだけ複雑な式を載せていたField先生がいう...
結局，混合要因計画の式については，テキストでは掲載してい...
混合要因計画のω&SUP{2};について最も詳しい計算式を載せてい...
この論文では，３要因までの様々な計画に対応しているω&SUP{2...
また，一部の計画については，Susskind & Howland（1980）が...
**&color(#000080){加算モデルと非加算モデル}; [#c37a1e87]
さて，これで混合要因計画の式がわかる……とその前に，これら...
それは，反復測定要因を含む計画の場合，ω&SUP{2};の計算式に...
具体的には，分散分析のモデルとして&color(darkorchid){''加...
加算モデルとは，参加者と誤差の間に交互作用がないと仮定す...
一方，非加算モデルでは，これらの間に交互作用が存在するこ...
理論的には，加算モデルの方が非加算モデルよりも検出力が高...
しかし，現在一般に用いられているソフトウェアでは，反復測...
実は，上で参照した被験者内計画のω&SUP{2};の計算式は，加算...
それでは，非加算モデルを仮定した場合はどのようになるので...
以下は，非加算モデルの場合の一要因被験者内計画用の式です。
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}+n ...
\]
加算モデルの式の分母にさらにMS&SUB{error};を足したものに...
これまでと同じように式変形していくと，以下の式に落ち着き...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}+n ...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+SS_{s}+SS_{...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+n \times MS...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
二要因の場合の非加算モデルの被験者内計画の式は以下のよう...
一見，誤差項にかける数の法則性がつかめないように思えます...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_{s}+n ...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+SS_{B}+SS_{...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{A}+SS_{B}+SS_{...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
ていねいに見ていくにはなかなかの忍耐力を要求されますが，...
こうして非加算モデルでは要因数によって計算式が違うことを...
実際のところ，これがうまくできていて，上の加算モデルの式...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}+MS_s} \\
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{(SS_{A} - df_{A} \...
\]
**&color(#000080){混合要因計画におけるオメガ二乗}; [#ka35...
以上のような加算モデル，非加算モデルの選択の問題は，混合...
まずは，より簡単な加算モデルの場合のAsBデザインの式を示し...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_{Total}+MS_{sxA}} \\
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}+S...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{(SS_A - df_A \times ...
\]
基本的には，加算モデルの被験者内計画の場合と同じような具...
ただし，SS&SUB{s};はありません。
非加算モデルの場合のAsBデザインの式は以下のようになります。
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_{Total}+MS_{sxA}+nj...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}+S...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+SS_B+SS_{AxB}+S...
\]
\[
= \frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{(SS_A - df_A \times ...
\]
誤差項が複数あり，水準数から１を引かない点が加算モデルと...
ここまででどんな形の計画にも対応できそうに思えるかもしれ...
それぞれ，被験者間要因と被験者内要因が２つ以上に増えた場...
これらのデザインについては，式も本当に長くなるのでここで...
**&color(#000080){加算モデルか非加算モデルか}; [#x662be6d]
一通り計算式が出そろったところで，加算モデルと非加算モデ...
先に述べたように，一般的なソフトウェアが使っている分散分...
そこで，すなおに考えると非加算モデルの式を使うのがよさそ...
しかし，式を見て気づくように，非加算モデルの式によるω&SUP...
そこで，非加算モデルの式には過少推定の傾向があるといえま...
そもそもω&SUP{2};そのものが分散分析の効果量の指標として過...
Susskind & Howland（1980）は，加算性が仮定できるか疑わし...
本当は非加算モデルの方が妥当なデータについて，加算モデル...
そして，実際にこの加算性の仮定による影響がどの程度である...
そこで，ANOVA君（version 4.3.0以降）では，これら両方のモ...
omegaを指定した場合は加算モデル，omeganaを指定した場合は...
非加算モデルを使っているのに加算モデルに基づくω&SUP{2};を...
また，検定と効果量はある程度別物であると考えるのなら，あ...
ここで，一点，補足しておきます。
この記事では一括して“加算モデル”と呼んできましたが，実は...
３要因以上のデザインの場合，どの効果の誤差と参加者の間に...
ですから，ここで提示した加算モデルによるω&SUP{2};の式が唯...
他にも，それなりの正当性を持った適切な加算モデルによるω&S...
ここでは，もっとも単純な，どの効果の誤差項とも等しく交互...
このように概観してくると，ω&SUP{2};の計算には実にいろいろ...
被験者間計画か，被験者内計画か，混合要因計画か。
それぞれ，何要因の計画なのか。
加算モデルか非加算モデルか，加算モデルであったとしてもど...
さらに，今回は議論しませんでしたが，ω&SUP{2};の計算式を論...
もちろん，固定効果と変量効果の両方を含むモデルもありえま...
このように，ω&SUP{2};は様々な条件によって計算式が少しずつ...
効果量の母集団推定値としてη&SUP{2};よりも推奨されているに...
**&color(#000080){偏オメガ二乗の計算法は？}; [#c5f11968]
さて，ここまでがんばれば，偏オメガ二乗も計算できそうに思...
むしろ，偏オメガの場合は分母として，関係のある効果の誤差...
しかし，そうは問屋が卸さないのです。
被験者間計画や被験者内計画の場合であれば問題ないのですが...
一般に，ω&SUB{p};&SUP{2};の式は以下のように定義されている...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+(N - df_A) \times...
\]
分母の誤差項は，効果量を算出しようとしている効果の誤差項...
ところが，混合要因計画の場合には，この分母の誤差項の扱い...
まず，Kirk（2013）が紹介している方法があります。
これは最も単純な方法で，上で紹介している式をそのまま使う...
それぞれの効果ごとの誤差項を考慮するという意味では，最も...
次に，Olejnik & Algina（2000）の方法があります。
この方法では，混合要因計画における被験者間要因の効果量を...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+(n - df_A) \times...
\]
また，被験者内要因及び交互作用の場合には，nに水準数をかけ...
\[
\frac{SS_B - df_B \times MS_{sxAxB}}{SS_B+(kn - df_B) \ti...
\]
\[
\frac{SS_{AxB} - df_{AxB} \times MS_{sxAxB}}{SS_{AxB}+(kn...
\]
被験者間要因の場合に交互作用の誤差項を引くのは，何か理論...
一方，Maxwell & Delaney（2004）では，分母から自由度をかけ...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{sxA}}{SS_A+N \times MS_{sxA}...
\]
\[
\frac{SS_B - df_B \times MS_{sxAxB}}{SS_B+kn \times MS_{s...
\]
\[
\frac{SS_{AxB} - df_{AxB} \times MS_{sxAxB}}{SS_{AxB}+kn ...
\]
こうなってくると，もう何が本当に正しい計算法なのかわから...
とりあえず，ANOVA君では，最も単純なKirkの方式を採用してい...
このような状況ですので，もしかしたらω&SUB{p};&SUP{2};につ...
**&color(#000080){イプシロン二乗という選択}; [#ia91dbb9]
ω&SUP{2};の算出法について様々な問題があることについて紹介...
ここまで来ると，本当にω&SUP{2};を使って効果量を報告するこ...
ω&SUP{2};に疑問を感じる方には，ひとつの代案として，&color...
ε&SUP{2};もまた分散分析の効果量の母集団推定値であり，これ...
ただし，ε&SUP{2};とω&SUP{2};との違いは数値的にもごくわず...
さらに，シミュレーションをしてみると，少なくとも一要因被...
ε&SUP{2};の計算式は以下のようなものであり，分子はω&SUP{2}...
\[
\frac{SS_A - df_A \times MS_{error}}{SS_{Total}} \\
\]
ここで，ω&SUP{2};の計算法についてどこが複雑だったかを思い...
これに対して，ε&SUP{2};の場合は分母に平均平方を足さず，η&...
ということは，上でみたω&SUP{2};のような複雑なバリエーショ...
同じ母集団推定値を得たいなら，算出法の選択において議論の...
（あるいは，真の効果量を推定するための指標としてω&SUP{2};...
また，ε&SUP{2};についても，η&SUP{2};やω&SUP{2};と同様に，...
η&SUB{p};&SUP{2};は回帰分析でいうR&SUP{2};，ε&SUB{p};&SUP...
ANOVA君では，さらに，&color(darkorchid){''ε&SUB{G};&SUP{2...
この指標は，η&SUB{G};&SUP{2};とω&SUB{G};&SUP{2};の計算法...
ただし，ε&SUB{G};&SUP{2};は，統計学の専門家によって定式化...
以上の点を了承の上でご利用ください。
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Dodd, D. H., & Schultz, R. F., Jr. (1973). Computational ...
Field, A. (2009). '''Discovering statistics using SPSS (3...
Gaebelein, J. W., & Soderquist, D. R. (1978). The utility...
Kirk, R. E. (2013). '''Experimental design: Procedures fo...
Maxwell, S. E., & Delaney, H. D. (2004). '''Designing exp...
Mordkoff, J. T. (2019). A simple method for removing bias...
Okada, K. (2013). Is omega squared less biased? A compari...
Olejnik, S., & Algina, J. (2000). Measures of effect size...
Olejnik, S., & Algina, J. (2003). Generalized eta and ome...
Susskind, E. C., & Howland, E. W. (1980). Measuring effec...
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