ANOVA君/標準化効果量の信頼区間 をテンプレートにして作成 - 井関龍太のページ
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ANOVA君/標準化効果量の信頼区間
をテンプレートにして作成
開始行:
*&color(#6A5ACD){効果量の信頼区間}; [#d2958414]
信頼区間といえば，まず平均値の信頼区間が思い浮かぶのでは...
しかし，信頼区間は平均値だけでなく，標準誤差などさまざま...
最近では，イータ二乗などの標準化効果量の信頼区間に対する...
効果量の利用を勧めるのには，帰無仮説検定の結果を受けて有...
この考えからすると，効果量の指標についても点推定の値を提...
効果量が大きくても，信頼区間の幅が広すぎるとその大きさに...
逆に，信頼区間の幅が狭ければ，小さな効果量でも確信をもっ...
それでは，効果量の信頼区間はどのように求めたらよいのでし...
標準化効果量の信頼区間を算出する方法には，現在のところ，...
以下では，これらのアプローチについて順に簡単に説明します。
*&color(#6A5ACD){非心分布に基づくアプローチ}; [#s8ec95b6]
分散分析の標準化効果量の信頼区間を計算する方法のひとつは...
非心分布とは，われわれのよく知るｔ分布やＦ分布に非心パラ...
たとえば，通常のＦ分布は分子と分母の２つの自由度によって...
実のところ，通常のｔ分布やＦ分布は非心パラメータが０のと...
（非心分布と検定力，効果量の関係については，[[検定力につ...
効果量の信頼区間を算出するためには，まず，標本に基づいて...
そして，反復計算の結果として得られた非心パラメータλの信頼...
具体的には，λから偏イータ二乗を計算することになりますが，...
このように，ややまわりくどい方法になりますが，この非心分...
ただし，この方法にはいくつかの限界があります。
まず，分散分析の基本的な仮定と同じく，分布の正規性，等分...
次に，効果が小さいとき（具体的には，もとの分析のＦ値が小...
このような場合には，非心パラメータを０とみなして信頼区間...
Morey et al.（2016）は，このような方針の恣意性を批判して...
また，この非心分布に基づくアプローチでは，反復測定要因の...
反復測定の場合の効果量の分布は極めて複雑で，通常の分布で...
よく見ると，非心パラメータに基づいて各種効果量の信頼区間...
Matlabで各種効果量の信頼区間を計算するツールボックスとし...
その代わり，反復測定効果についてはブートストラップに基づ...
このような場合には，ブートストラップ法が代案になると考え...
**&color(#000080){ANOVA君における実装}; [#za153762]
ANOVA君では，オプションとして効果量を指定するとともに“nes...
少なくともひとつの効果量の指標を指定していない場合には何...
効果量を指定している場合，分散分析表の後に以下のような効...
<< EFFECT SIZE INFORMATION >>
=== Noncentral F Distribution-Based Confidence Intervals...
=== 95% confidence intervals are calculated. ===
--------------------------------------------------------...
ES Source Estimate CI_L CI_U ncp_L ncp_U
--------------------------------------------------------...
eta^2 A 0.0441 0.0000 0.2698 NA 8.8684
eta^2 B 0.3529 0.0000 0.5346 NA 27.5738
eta^2 A x B 0.1324 0.0000 0.3186 NA 11.2236
--------------------------------------------------------...
この表の“Estimate”は，分散分析表にあるのと同じ，効果量の...
“CI_L”，“CI_U”は，それぞれ，信頼区間の下限と上限を表して...
その次の“ncp_L”と“ncp_U”はＦ値に基づいて推定した（そして...
非心パラメータが推定できなかった場合，この列には“NA”が表...
また，反復測定を含む効果については，信頼区間はすべて“NA”...
*&color(#6A5ACD){ブートストラップに基づくアプローチ}; [#q...
分散分析の標準化効果量の信頼区間を算出するためのもうひと...
ブートストラップ法は，標本からのデータの無作為抽出をくり...
もう少し具体的な例を使って説明してみましょう。
いま，実験に基づいて１～10までの10個の標本が得られたとし...
説明を簡単にするため，ここでは，平均値を求めることにしま...
標本に基づく平均値は5.5です。
さて，ブートストラップを実行するために，10個の標本から無...
たとえば，１，２，３，３，４，５，６，７，９，10です。
この例からわかるように，ブートストラップ法では，値の重複...
このようにして作成したデータをブートストラップ標本と呼び...
ここで，標本に対して行ったのと同じように，ブートストラッ...
この手続きを一回行っただけではたいして意味はありませんが...
100個のブートストラップ標本に基づく，100個の平均値が得ら...
この100個の平均値は少しずつ値が違いますが，もともとの標本...
この100個の平均値を使うことで平均値の分布を描くことができ...
もとの平均よりも小さな値もあれば大きな値もあるでしょうが...
このブートストラップ平均の分布を用いることで，真の平均値...
最も素朴な直感的にもわかりやすい方法は，ブートストラップ...
これらの値がそれぞれ，平均値の上側と下側の95％信頼区間の...
ブートストラップ法の強みは，統計量に対する理論的な仮定を...
たとえば，統計量の分布について正規分布であるとか，等分散...
ブートストラップ標本に基づいて計算できる統計量であれば，...
おかげで，非心分布アプローチの場合のように効果量の種類ご...
また，分布の形状に対する仮定を必要としないので，反復測定...
もちろん，被験者間計画のデータであったとしても，正規性や...
こうしてみるとブートストラップ法はいいこと尽くめのようで...
ひとつには，計算のためのコストが大きいということです。
先ほどの例では100回のくりかえしを行うことにしていました。
くりかえしの適切な回数については統計量の性質によって経験...
標準誤差の場合には100～200回で十分とされていますが，信頼...
そうすると，ブートストラップ標本を作成し統計量を計算する...
このコストはPCによる実行時間に反映されます。
次に，サンプルサイズが少ないことによる影響があります。
ブートストラップ計算を何回くりかえしたとしても，もともと...
サンプルサイズが小さい場合には，よい精度で信頼区間を計算...
具体的なサンプルサイズについてはいろいろ議論のあるところ...
シミュレーション研究の結果によるとn＝５ではかなりエラーが...
n＝15でよい結果が得られたとの報告もあるようですが，n＜20...
最後に，ブートストラップ法に基づく信頼区間は，その性質上...
基本的に無作為抽出に基づいて再抽出した結果をまとめる方法...
この点に不満を感じる方もおられるかもしれません。
ただ，逆に考えれば，実行のたびにずれる程度の幅は誤差であ...
**&color(#000080){ANOVA君における実装}; [#s607b6d7]
ANOVA君では，効果量とともに“besci = T”をオプションに加え...
ひとつ以上の効果量の指標を同時に指定していない場合には何...
効果量を指定してあれば，分散分析表の後に，以下のような効...
<< EFFECT SIZE INFORMATION >>
=== Bias-Corrected and Accelerated (BCa) Confidence Inte...
=== 95% confidence intervals based on 2000 replications ...
--------------------------------------------------------...
ES Source Observed CI_L CI_U Bias S.E.
--------------------------------------------------------...
eta^2 A 0.0441 0.0000 0.2090 0.0220 0.0643
eta^2 B 0.3529 0.1114 0.5381 0.0555 0.1185
eta^2 A x B 0.1324 0.0118 0.2969 0.0600 0.1012
--------------------------------------------------------...
この表の“Observed”は，分散分析表と同じ，効果量の点推定値...
“CI_L”，“CI_U”は，それぞれ，信頼区間の下限と上限を表して...
“Bias”はブートストラップ標本に基づく効果量の平均から効果...
“S.E.”はブートストラップ標本に基づく標準誤差です。
Biasが大きすぎる場合，BiasがS.E.よりも大きい場合には，ブ...
その場合は，サンプルサイズが小さい，データが正規性から極...
上の説明では，簡単さのために，ブートストラップ統計量の上...
このような方法は，パーセンタイル法と呼ばれます。
現在では，単純にパーセンタイル法を適用したのでは精度が高...
ANOVA君でも，このBCa法を用いてブートストラップ信頼区間を...
ブートストラップ標本に基づいて信頼区間を構成する方法には...
ANOVA君では，反復測定データからブートストラップ標本を作る...
このような方法は，ペアドブートストラップ，クラスターブー...
しかし，反復測定データなどの相関関係のあるデータからブー...
総じて，ここで採用している方法だけが妥当であるというわけ...
besciオプションの実行には，相応の計算コストがかかるので注...
具体的には，ANOVA君では，デフォルトの反復回数は2,000回に...
実際の所要時間は実行環境やデータそのものの性質にも依存す...
いったんブートストラップなしで出力の量（要因効果の数と単...
また，ブートストラップの途中で計算を停止したい場合にはエ...
なお，WindowsよりもMacかLinuxのほうが実行時間が安定して短...
*&color(#6A5ACD){参考文献}; [#l815768b]
Fidler, F., & Thompson, B. (2001). Computing correct conf...
南風原朝和 (2014). 続・心理統計学の基礎－統合的理解を広げ...
Kelley, K. (2005). The effects of nonnormal distributions...
Kelley, K. (2007). Confidence intervals for standardized ...
Kirby, K. N., & Gerlanc, D. (2013). BootES: An R package ...
Kline, R. B. (2013). '''Beyond significance testing: Stat...
Kromrey, J. D., & Bell, B. A. (2010). ES_ANOVA: A SAS® ma...
Morey, R. D., Hoekstra, R., Rouder, J. N., Lee, M. D., & ...
汪金芳・桜井裕仁 (2011). Rで学ぶデータサイエンス４ ブー...
終了行:
*&color(#6A5ACD){効果量の信頼区間}; [#d2958414]
信頼区間といえば，まず平均値の信頼区間が思い浮かぶのでは...
しかし，信頼区間は平均値だけでなく，標準誤差などさまざま...
最近では，イータ二乗などの標準化効果量の信頼区間に対する...
効果量の利用を勧めるのには，帰無仮説検定の結果を受けて有...
この考えからすると，効果量の指標についても点推定の値を提...
効果量が大きくても，信頼区間の幅が広すぎるとその大きさに...
逆に，信頼区間の幅が狭ければ，小さな効果量でも確信をもっ...
それでは，効果量の信頼区間はどのように求めたらよいのでし...
標準化効果量の信頼区間を算出する方法には，現在のところ，...
以下では，これらのアプローチについて順に簡単に説明します。
*&color(#6A5ACD){非心分布に基づくアプローチ}; [#s8ec95b6]
分散分析の標準化効果量の信頼区間を計算する方法のひとつは...
非心分布とは，われわれのよく知るｔ分布やＦ分布に非心パラ...
たとえば，通常のＦ分布は分子と分母の２つの自由度によって...
実のところ，通常のｔ分布やＦ分布は非心パラメータが０のと...
（非心分布と検定力，効果量の関係については，[[検定力につ...
効果量の信頼区間を算出するためには，まず，標本に基づいて...
そして，反復計算の結果として得られた非心パラメータλの信頼...
具体的には，λから偏イータ二乗を計算することになりますが，...
このように，ややまわりくどい方法になりますが，この非心分...
ただし，この方法にはいくつかの限界があります。
まず，分散分析の基本的な仮定と同じく，分布の正規性，等分...
次に，効果が小さいとき（具体的には，もとの分析のＦ値が小...
このような場合には，非心パラメータを０とみなして信頼区間...
Morey et al.（2016）は，このような方針の恣意性を批判して...
また，この非心分布に基づくアプローチでは，反復測定要因の...
反復測定の場合の効果量の分布は極めて複雑で，通常の分布で...
よく見ると，非心パラメータに基づいて各種効果量の信頼区間...
Matlabで各種効果量の信頼区間を計算するツールボックスとし...
その代わり，反復測定効果についてはブートストラップに基づ...
このような場合には，ブートストラップ法が代案になると考え...
**&color(#000080){ANOVA君における実装}; [#za153762]
ANOVA君では，オプションとして効果量を指定するとともに“nes...
少なくともひとつの効果量の指標を指定していない場合には何...
効果量を指定している場合，分散分析表の後に以下のような効...
<< EFFECT SIZE INFORMATION >>
=== Noncentral F Distribution-Based Confidence Intervals...
=== 95% confidence intervals are calculated. ===
--------------------------------------------------------...
ES Source Estimate CI_L CI_U ncp_L ncp_U
--------------------------------------------------------...
eta^2 A 0.0441 0.0000 0.2698 NA 8.8684
eta^2 B 0.3529 0.0000 0.5346 NA 27.5738
eta^2 A x B 0.1324 0.0000 0.3186 NA 11.2236
--------------------------------------------------------...
この表の“Estimate”は，分散分析表にあるのと同じ，効果量の...
“CI_L”，“CI_U”は，それぞれ，信頼区間の下限と上限を表して...
その次の“ncp_L”と“ncp_U”はＦ値に基づいて推定した（そして...
非心パラメータが推定できなかった場合，この列には“NA”が表...
また，反復測定を含む効果については，信頼区間はすべて“NA”...
*&color(#6A5ACD){ブートストラップに基づくアプローチ}; [#q...
分散分析の標準化効果量の信頼区間を算出するためのもうひと...
ブートストラップ法は，標本からのデータの無作為抽出をくり...
もう少し具体的な例を使って説明してみましょう。
いま，実験に基づいて１～10までの10個の標本が得られたとし...
説明を簡単にするため，ここでは，平均値を求めることにしま...
標本に基づく平均値は5.5です。
さて，ブートストラップを実行するために，10個の標本から無...
たとえば，１，２，３，３，４，５，６，７，９，10です。
この例からわかるように，ブートストラップ法では，値の重複...
このようにして作成したデータをブートストラップ標本と呼び...
ここで，標本に対して行ったのと同じように，ブートストラッ...
この手続きを一回行っただけではたいして意味はありませんが...
100個のブートストラップ標本に基づく，100個の平均値が得ら...
この100個の平均値は少しずつ値が違いますが，もともとの標本...
この100個の平均値を使うことで平均値の分布を描くことができ...
もとの平均よりも小さな値もあれば大きな値もあるでしょうが...
このブートストラップ平均の分布を用いることで，真の平均値...
最も素朴な直感的にもわかりやすい方法は，ブートストラップ...
これらの値がそれぞれ，平均値の上側と下側の95％信頼区間の...
ブートストラップ法の強みは，統計量に対する理論的な仮定を...
たとえば，統計量の分布について正規分布であるとか，等分散...
ブートストラップ標本に基づいて計算できる統計量であれば，...
おかげで，非心分布アプローチの場合のように効果量の種類ご...
また，分布の形状に対する仮定を必要としないので，反復測定...
もちろん，被験者間計画のデータであったとしても，正規性や...
こうしてみるとブートストラップ法はいいこと尽くめのようで...
ひとつには，計算のためのコストが大きいということです。
先ほどの例では100回のくりかえしを行うことにしていました。
くりかえしの適切な回数については統計量の性質によって経験...
標準誤差の場合には100～200回で十分とされていますが，信頼...
そうすると，ブートストラップ標本を作成し統計量を計算する...
このコストはPCによる実行時間に反映されます。
次に，サンプルサイズが少ないことによる影響があります。
ブートストラップ計算を何回くりかえしたとしても，もともと...
サンプルサイズが小さい場合には，よい精度で信頼区間を計算...
具体的なサンプルサイズについてはいろいろ議論のあるところ...
シミュレーション研究の結果によるとn＝５ではかなりエラーが...
n＝15でよい結果が得られたとの報告もあるようですが，n＜20...
最後に，ブートストラップ法に基づく信頼区間は，その性質上...
基本的に無作為抽出に基づいて再抽出した結果をまとめる方法...
この点に不満を感じる方もおられるかもしれません。
ただ，逆に考えれば，実行のたびにずれる程度の幅は誤差であ...
**&color(#000080){ANOVA君における実装}; [#s607b6d7]
ANOVA君では，効果量とともに“besci = T”をオプションに加え...
ひとつ以上の効果量の指標を同時に指定していない場合には何...
効果量を指定してあれば，分散分析表の後に，以下のような効...
<< EFFECT SIZE INFORMATION >>
=== Bias-Corrected and Accelerated (BCa) Confidence Inte...
=== 95% confidence intervals based on 2000 replications ...
--------------------------------------------------------...
ES Source Observed CI_L CI_U Bias S.E.
--------------------------------------------------------...
eta^2 A 0.0441 0.0000 0.2090 0.0220 0.0643
eta^2 B 0.3529 0.1114 0.5381 0.0555 0.1185
eta^2 A x B 0.1324 0.0118 0.2969 0.0600 0.1012
--------------------------------------------------------...
この表の“Observed”は，分散分析表と同じ，効果量の点推定値...
“CI_L”，“CI_U”は，それぞれ，信頼区間の下限と上限を表して...
“Bias”はブートストラップ標本に基づく効果量の平均から効果...
“S.E.”はブートストラップ標本に基づく標準誤差です。
Biasが大きすぎる場合，BiasがS.E.よりも大きい場合には，ブ...
その場合は，サンプルサイズが小さい，データが正規性から極...
上の説明では，簡単さのために，ブートストラップ統計量の上...
このような方法は，パーセンタイル法と呼ばれます。
現在では，単純にパーセンタイル法を適用したのでは精度が高...
ANOVA君でも，このBCa法を用いてブートストラップ信頼区間を...
ブートストラップ標本に基づいて信頼区間を構成する方法には...
ANOVA君では，反復測定データからブートストラップ標本を作る...
このような方法は，ペアドブートストラップ，クラスターブー...
しかし，反復測定データなどの相関関係のあるデータからブー...
総じて，ここで採用している方法だけが妥当であるというわけ...
besciオプションの実行には，相応の計算コストがかかるので注...
具体的には，ANOVA君では，デフォルトの反復回数は2,000回に...
実際の所要時間は実行環境やデータそのものの性質にも依存す...
いったんブートストラップなしで出力の量（要因効果の数と単...
また，ブートストラップの途中で計算を停止したい場合にはエ...
なお，WindowsよりもMacかLinuxのほうが実行時間が安定して短...
*&color(#6A5ACD){参考文献}; [#l815768b]
Fidler, F., & Thompson, B. (2001). Computing correct conf...
南風原朝和 (2014). 続・心理統計学の基礎－統合的理解を広げ...
Kelley, K. (2005). The effects of nonnormal distributions...
Kelley, K. (2007). Confidence intervals for standardized ...
Kirby, K. N., & Gerlanc, D. (2013). BootES: An R package ...
Kline, R. B. (2013). '''Beyond significance testing: Stat...
Kromrey, J. D., & Bell, B. A. (2010). ES_ANOVA: A SAS® ma...
Morey, R. D., Hoekstra, R., Rouder, J. N., Lee, M. D., & ...
汪金芳・桜井裕仁 (2011). Rで学ぶデータサイエンス４ ブー...
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